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1、祖沖之是怎么計算出圓周率的？ 2、祖沖之與圓周率的故事是什么？ 3、祖沖之是怎么算圓周率的？ 4、祖沖之如何求得圓周率？ 5、祖沖之是用什么方法計算圓周率的？ 祖沖之是怎么計算出圓周率的？

祖沖之是我國古代著名的數學家和天文學家，他在數學上最重要的成就是把圓周率的小數位史無前例地計算到第七位，這個精度在隨后的800年里一直是世界第一。那時是公元480年，一切都要依靠手工計算的時代（甚至算盤可能還沒有出現），算個開方都費勁，那么，祖沖之是如何算出精度這么高的圓周率呢？

圓周率并不是通過先作圓，然后量周長和直徑，最后算出來的。因為這樣做的誤差很大，測量誤差不可避免。事實上，古代數學家在很長一段時間里都是用幾何方法來計算圓周率。

祖沖之算圓周率所使用的方法是劉徽發明的割圓術，這與阿基米德所用的方法有些不同。阿基米德通過做圓的外切和內接正多邊形，來計算圓周率的上下限，因為邊數越多的正多邊形越接近于圓。

劉徽的割圓術基于圓的內接正多邊形，他用正多邊形的面積來逼近圓的面積。分割越多，內接正多邊形和圓之間的面積越來越小，兩者越來接近。無限分割之后，內接正多邊形和圓將會合二為一。

如上圖所示，在一個半徑為r的圓中做正3×2^n（n為正整數）邊形，假設其邊長為a_n，即AB=a_n。AB的中點為P，連接OP交圓于C。那么，AC和BC就是正3×2^(n+1)邊形的邊長，可以表示為a_(n+1)。

在直角三角形AOP中，根據勾股定理：

OA^2=AP^2+OP^2

令OP=b_n，由此可得：

令PC=c_n，c_n=PC=OC-OP=r-b_n

在直角三角形APC中，根據勾股定理：

AC^2=AP^2+PC^2

由此可得：

知道正3×2^n邊形的邊長之后，再根據劉徽多邊形面積公式，可以算出正6×2^n邊形的面積。根據上述正多邊形邊長的迭代公式，不斷的把圓分割下去，圓面積的計算精度會越來越高。

在劉徽的方法中，引入了極限和無窮小分割的思想。劉徽的方法更為巧妙，也更為簡潔。劉徽算到了正3072邊形，結果得到的圓周率為3.1416。

祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算到了正24576邊形，并根據劉徽圓周率不等式，確定了圓周率的下限（肭數）為3.1415926，上限（盈數）為3.1415927。并且，祖沖之還順便給出了圓周率的一個近似分數355/113，其前六位都是正確的。

在沒有計算機和算盤的幫助下，祖沖之用算籌來計算乘方和開方，硬生生地把圓周率的小數位算到了第七位，這需要極其巨大的毅力和艱苦卓絕的付出。在祖沖之的努力下，此后800年里，沒有人能夠算出比這精度更高的圓周率。

祖沖之與圓周率的故事是什么？

祖沖之自幼喜歡數學，在父親和祖父的指導下學習了很多數學方面的知識。一次，父親從書架上給他拿了一本《周髀算經》，這是一本西漢或更早的著名的數學書。書中講到圓的周長為直徑的3倍。于是，他就用繩子量車輪，進行驗證，結果卻發現車輪的周長比車輪直徑的3倍還多一點。他又去量盆子，結果還是一樣。他想圓周并不完全是直徑的3倍，那么圓周究竟比3個直徑長多少呢？在漢以前，中國一般用三作為圓周率數值，即“周三徑一”。這在計算圓的周長和面積時，誤差很大。祖沖之在劉徽創造的用“割圓術”求圓周率的科學方法基礎上，運用開密法，經過反復演算，求出圓周率為：3.1415927π3.1415926。這是當時世界上最精確的數值，他也成為世界上第一個把圓周率的準確數值計算到小數點以后第7位數字的人。直到1000多年后，這個紀錄才被歐洲人打破。圓周率的計算，是祖沖之在數學上的一項杰出貢獻，有外國數學史家把π叫做“祖率”。

祖沖之是怎么算圓周率的？

祖沖之發明的；祖沖之在數學上的杰出成就，是關于圓周率的計算．秦漢以前，人們以徑一周三做為圓周率，這就是古率．后來發現古率誤差太大，圓周率應是圓徑一而周三有余，不過究竟余多少，意見不一。

直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法--割圓術，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長．劉徽計算到圓內接96邊形， 求得π=3.14，并指出，內接正多邊形的邊數越多，所求得的π值越精確。

祖沖之在前人成就的基礎上，經過刻苦鉆研，反復演算，求出π在3.1415926與3.1415927之間．并得出了π分數形式的近似值，取為約率 ，取為密率，其中取六位小數是3.141929，它是分子分母在1000以內最接近π值的分數。

拓展資料

圓周率（Pai）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。π也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。 在分析學里，π可以嚴格地定義為滿足sin x = 0的最小正實數x。

圓周率用字母 π（讀作pài）表示，是一個常數（約等于3.141592654），是代表圓周長和直徑的比值。它是一個無理數，即無限不循環小數。

在日常生活中，通常都用3.14代表圓周率去進行近似計算。而用十位小數3.141592654便足以應付一般計算。即使是工程師或物理學家要進行較精密的計算，充其量也只需取值至小數點后幾百個位。

參考資料：誰才是圓周率？π 和 τ 之間的戰爭??. [2015-3-18]

圓周率定義

祖沖之如何求得圓周率？

祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當于精確到小數第7位，簡化成3.1415926，祖沖之因此入選世界紀錄協會世界第一位將圓周率值計算到小數第7位的科學家。祖沖之還給出圓周率(π)的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數第7位。祖沖之對圓周率數值的精確推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻，后人將“約率”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。

東漢張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時王蕃推算出的圓周率數值為3.155。魏晉的著名數學家劉徽在為《九章算術》作注時創立了新的推算圓周率的方法——割圓術，將圓周率的值為邊長除以2，其近似值為3.14；并且說明這個數值比圓周率實際數值要小一些。劉徽以后，探求圓周率有成就的學者，先后有南朝時代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圓周率數值為3.1428，皮延宗求出圓周率值為22/7≈3.14。

祖沖之認為自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽，但并未達到精確的程度，于是他進一步精益鉆研，去探求更精確的數值。

根據《隋書·律歷志》關于圓周率（π）的記載：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數：一個是盈數（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒

圓周率

數（即不足的近似值），為3.1415926。

盈朒兩數可以列成不等式，如:3.1415926（*）π（真實的圓周率）3.1415927（盈），這表明圓周率應在盈朒 兩數之間。按照當時計算都用分數的習慣，祖沖之還采用了兩個分數值的圓周率。一個是355/113（約等于3.1415927），這一個數比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是22/7（約等于3.14），這一個數比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，他的研究適應了當時生產實踐的需要。他親自研究度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。古代有一種量器叫做“ 釜 ”，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，祖沖之利用他的圓周率研究，求出了精確的數值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”， 利用“祖率”校正了數值。以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數值。

祖沖之是用什么方法計算圓周率的？

現代的數學家經過詳細研究認為，祖沖之也是采用劉徽的“割圓術”來取得這一成果的。如果祖沖之真的是使用“割圓術”的話，他就要經過11次倍邊過程，最后才能求得圓內接正12288邊形和內接正24576邊形的面積，而且每一次倍邊過程，他都要進行9至18位數的四則和開方運算。不必說那時用的是籌算計算，就是現在用計算機計算，也是一件比較繁重的工作。特別值得一提的是，祖沖之發明的“約率”和“密率”，不但在實際生活中簡單實用，而且是圓周率的最佳分數。約率是分母不超過百位數的所有近似值分數中的最佳逼近值；密率也是分母不超過千位數的所有近似分數中的最佳逼近值。

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